3.182 \(\int \coth (x) \sqrt {a+b \text {sech}^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=56 \[ \sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )-\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right ) \]

[Out]

arctanh((a+b*sech(x)^2)^(1/2)/a^(1/2))*a^(1/2)-arctanh((a+b*sech(x)^2)^(1/2)/(a+b)^(1/2))*(a+b)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.11, antiderivative size = 56, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 5, integrand size = 15, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.333, Rules used = {4139, 446, 83, 63, 208} \[ \sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )-\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]*Sqrt[a + b*Sech[x]^2],x]

[Out]

Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 83

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f)/(b*c
- a*d), Int[(e + f*x)^(p - 1)/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^(p - 1)/(c + d*
x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[0, p, 1]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 4139

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/f, Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p)/x
, x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ[
n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

Rubi steps

\begin {align*} \int \coth (x) \sqrt {a+b \text {sech}^2(x)} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\sqrt {a+b x^2}}{x \left (-1+x^2\right )} \, dx,x,\text {sech}(x)\right )\\ &=\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\sqrt {a+b x}}{(-1+x) x} \, dx,x,\text {sech}^2(x)\right )\\ &=-\left (\frac {1}{2} a \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \sqrt {a+b x}} \, dx,x,\text {sech}^2(x)\right )\right )+\frac {1}{2} (a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(-1+x) \sqrt {a+b x}} \, dx,x,\text {sech}^2(x)\right )\\ &=-\frac {a \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-\frac {a}{b}+\frac {x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}\right )}{b}+\frac {(a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1-\frac {a}{b}+\frac {x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}\right )}{b}\\ &=\sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )-\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \text {sech}^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right )\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.13, size = 111, normalized size = 1.98 \[ \frac {\sqrt {2} \cosh (x) \sqrt {a+b \text {sech}^2(x)} \left (\sqrt {a} \log \left (\sqrt {a \cosh (2 x)+a+2 b}+\sqrt {2} \sqrt {a} \cosh (x)\right )-\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2 a+2 b} \cosh (x)}{\sqrt {a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )\right )}{\sqrt {a \cosh (2 x)+a+2 b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]*Sqrt[a + b*Sech[x]^2],x]

[Out]

(Sqrt[2]*Cosh[x]*(-(Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[2*a + 2*b]*Cosh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]) + Sqrt[a]*Log[
Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[x] + Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]])*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.62, size = 3597, normalized size = 64.23 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*sqrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a
^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 +
14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*
b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*c
osh(x)^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3
+ 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3
+ 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b + 3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2
+ sqrt(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(
x)^6 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4
*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15
*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((
a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^
2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3
+ 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)
^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 1/2*sqrt(a + b)*log(((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4
*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a
+ 3*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a
*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a + 3*b)*cosh
(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(
x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 1/4*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(
x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 -
1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh
(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)), sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cos
h(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2
+ 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + 1/4*sqrt(a)*log(
((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sin
h(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 + 14*(a^3 + 2*a^2*
b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3
)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 6*a^3
+ 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^
2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^
3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*
b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b + 3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a^2 +
2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + 2
*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^2 + 2*a*b + b
^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*c
osh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*s
inh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*
(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(
x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2
*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 1/4*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sin
h(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2
- 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*co
sh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)), -1/2*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(
(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^
2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(
x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2
+ a^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) - 1/2*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x
)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*co
sh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*
a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + 1/2*sqrt(a + b)*log(((2
*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a
+ b)*cosh(x)^2 + 2*a + 3*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*
sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)
^3 + (2*a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1
)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)), -1/2*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(
x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/
(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 +
a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(2
*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) - 1/2*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(
x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 +
a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)
^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2
*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*
(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a))]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Warn
ing, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a sub
stitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perha
ps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing
0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution vari
able should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.W
arning, replacing 0 by ` u`, a substitution variable should perhaps be purged.Warning, replacing 0 by ` u`, a
substitution variable should perhaps be purged.Warning, integration of abs or sign assumes constant sign by in
tervals (correct if the argument is real):Check [abs(t_nostep)]Warning, need to choose a branch for the root o
f a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0] was discarded and replaced randomly
by 0=[-59]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.N
on regular value [0] was discarded and replaced randomly by 0=[-92]Warning, need to choose a branch for the ro
ot of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0] was discarded and replaced rando
mly by 0=[80]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wron
g.Non regular value [0] was discarded and replaced randomly by 0=[84]Warning, need to choose a branch for the
root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0] was discarded and replaced ran
domly by 0=[89]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wr
ong.Non regular value [0] was discarded and replaced randomly by 0=[-4]Precision problem choosing root in comm
on_EXT, current precision 14Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. Thi
s might be wrong.Non regular value [0] was discarded and replaced randomly by 0=[16]Warning, need to choose a
branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0] was discarded a
nd replaced randomly by 0=[-86]Precision problem choosing root in common_EXT, current precision 14Evaluation t
ime: 0.62index.cc index_m operator + Error: Bad Argument Value

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.38, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \coth \relax (x ) \sqrt {a +b \mathrm {sech}\relax (x )^{2}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(coth(x)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {b \operatorname {sech}\relax (x)^{2} + a} \coth \relax (x)\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(x)^2 + a)*coth(x), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.02 \[ \int \mathrm {coth}\relax (x)\,\sqrt {a+\frac {b}{{\mathrm {cosh}\relax (x)}^2}} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)*(a + b/cosh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(coth(x)*(a + b/cosh(x)^2)^(1/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {a + b \operatorname {sech}^{2}{\relax (x )}} \coth {\relax (x )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)*(a+b*sech(x)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sech(x)**2)*coth(x), x)

________________________________________________________________________________________